Парадокс Монти Холла: симулятор, 10 000 раундов

Этот симулятор парадокса Монти Холла даёт сыграть в задачу самому, а затем прогнать 10 000 раундов за секунду. Смена двери выигрывает машину 2 раза из 3, а «остаться» — только 1 раз из 3, потому что выбор ведущего подсказывает, где машина, скорее всего, стоит. Попробуй 3 двери или 100 и смотри, как итоги сходятся к точным шансам.

Что такое парадокс Монти Холла?

Машина стоит за одной из 3 дверей, а за остальными 2 козы. Ты выбираешь дверь. Ведущий, который знает, где машина, открывает одну из остальных дверей и показывает козу. Потом он спрашивает, остаться у своей двери или перейти к той, что осталась. Большинство отвечает, что разницы нет. Она есть: смена двери выигрывает 2 раза из 3.

Задача названа по имени Монти Холла, ведущего телешоу Let's Make a Deal, и стала знаменитой в 1990 году, когда Мэрилин вос Савант ответила на неё в журнале Parade, а читатели, в том числе математики, написали, что она ошибается. Она оказалась права.

Почему шанс не 50 на 50?

Потому что ведущий открывает дверь не наугад. Он открывает ту, за которой, как он знает, коза. Твой первый выбор был верным 1 раз из 3, и ничто из того, что делает ведущий, этого не меняет. В остальные 2 раза из 3 машина стояла за одной из дверей, которые ты не выбирал, и ведущий, не имея права открыть дверь с машиной, оставляет закрытой именно её.

Два из трёх случаев — победа при смене двери, и только один — победа при отказе. В этом весь аргумент. Подсчёт случаев и есть причина, по которой ответ не 1/2: две закрытые двери не равновероятны, потому что одну ты выбрал вслепую, а другую оставил закрытой тот, кто знал.

Работает ли парадокс Монти Холла на самом деле?

Да, если правила ровно классические. Ведущий обязан знать, где машина, всегда открывать дверь с козой и всегда предлагать перейти. Измени любое из этих условий, и ответ изменится. Если ведущий открывает дверь наугад и она случайно оказывается с козой, смена и отказ равны: 1 из 2. Симулятор выше использует классические правила, поэтому его итоги совпадают с математикой.

Монти Холл со 100 дверями

Проще всего почувствовать ответ, увеличив число дверей. Со 100 дверями ты выбираешь одну, а ведущий открывает 98 остальных, все с козами, и оставляет одну закрытой. У твоей двери был шанс 1 из 100. Дверь, которую он оставил закрытой, несёт остальные 99 из 100. Почти никто не остался бы. Выбери 100 в симуляторе, прогони 10 000 раундов, и смена выиграет около 99% из них.

Как работает симуляция

В каждом смоделированном раунде машина ставится случайно, первый выбор тоже случаен, а ведущий открывает все двери, кроме твоей и ещё одной, и никогда не открывает машину. Потом тот же раунд считается дважды: как будто ты остался и как будто перешёл, так что оба итога получены на одних и тех же раундах. Прогон в 10 000 раундов обычно попадает в точный шанс с отклонением в процент или два. На нескольких раундах результат может сильно гулять, поэтому одна удачная или неудачная партия ничего не доказывает.

Режим «Сыграть самому» помогает прочувствовать задачу; не удивляйся, если твой счёт первые двенадцать партий будет выглядеть хаотично. Потом прогони много раундов и увидишь ту же математику в большом масштабе.

Это то же самое, что игра в Gift Club?

Нет. Это вероятностная головоломка, а не одна из наших игр. В «Волшебной двери» Gift Club пять дверей и нет ведущего, который открывал бы хоть одну из них, поэтому нет и решения «остаться или перейти», и ничто на этой странице к ней не относится. Общее только одно: обе стоит понимать как вероятность, а не как везение; об этом — шансы в азартных играх простыми словами.

Частые вопросы