Стратегия игры «угадай число»: почему деление пополам бьёт догадки

Игра «угадай число» — самая чистая стратегическая задача, которая помещается в один экран: что-то спрятано в диапазоне, вы называете число, и вам говорят «больше» или «меньше». Правильный подход известен задолго до того, как на это стали ставить деньги, и он умещается в одну строку — делите диапазон пополам каждый раз. Статья нужна из-за того, сколько эта строка стоит и как дорого обходится её игнорировать, когда раунд платный.

Арифметика, выведенная, а не заявленная

Допустим, у вас одна попытка. Выиграть можно, только если в диапазоне ровно одна позиция. Две попытки: назовите середину из трёх, и куда бы ни указала подсказка, останется одна позиция. Три попытки покрывают семь. Каждая следующая попытка покрывает то, с чем вы уже справлялись, плюс проверенную позицию, плюс столько же с другой стороны:

• 1 попытка покрывает 1
• 2 попытки покрывают 3
• 3 попытки покрывают 7
• 4 попытки покрывают 15
• 5 попыток покрывают 31
• 6 попыток покрывают 63
• 7 попыток покрывают 127

Закономерность — два в степени числа попыток минус единица. Семь попыток гарантированно разрешают 127 позиций и ни одной больше. Это двоичный поиск, та же идея, которая позволяет искать в словаре, не читая его с начала.

Что это значит, когда диапазон больше 127

Если игра даёт семь попыток на диапазон из 200, то 127 из этих 200 позиций выигрышны при идеальной игре, а остальные 73 — нет. Ваш потолок — 63,50%, и не потому что вам не везёт, а потому что выдаваемой информации недостаточно. На диапазоне из 500 потолок равен 25,40%.

Это не недостаток, на который стоит жаловаться, а тот самый регулятор, под который посчитана цена. В нашей игре «Угадай число» низкий уровень охватывает 200 и платит 1,4961×, а средний охватывает 500 и платит 3,7402×. Оба — это 95%, делённые на шанс выигрыша выше, поэтому оба уровня возвращают одинаковые 95%, а выбор между ними — чистая дисперсия.

Стратегия на практике

Возьмём окно 342–541. Не думайте про цифры, думайте про ширину — она равна 200.

1. Называем 441, середину. Ответ «больше» — живое окно 442–541, ширина 100.
2. Называем 491. Ответ «меньше» — окно 442–490, ширина 49.
3. Называем 466. И так далее: 25, потом 12, потом 6, потом 3, потом 1.

Семь попыток, каждая делит пополам. Обратите внимание: вы никогда не называете число потому, что оно «выглядит вероятным» — такого не бывает. Вы называете середину, потому что это позиция, дающая больше всего информации при любом ответе.

Чего стоит одна ленивая попытка

Эту часть стоит усвоить, потому что именно здесь игра на угадывание отличается от любого другого азартного формата. В слоте, в костях или в скретч-карте ваши решения не могут изменить ожидаемый возврат — таблица есть таблица. В игре-поиске выплата посчитана в расчёте на правильную игру, поэтому всё, что хуже, — это возврат, который вы отдали добровольно.

Конкретно: окно шириной 200, и вы открываете с 350, потому что это круглое число. Ответ «больше» — вы убрали лишь те немногие позиции, что были ниже, вместо примерно сотни. Попытка из семи потрачена, куплено почти ничего. Сделайте так дважды — и раунд фактически закончен ещё до седьмой попытки, хотя заплатили вы за него столько же.

Поэтому преимущество дома, названное для такой игры, всегда несёт невысказанное условие: против оптимальной игры. Против игрока, который называет догадки, реальное преимущество больше, и никому не пришлось менять ни строки в таблице выплат.

Две привычки, похожие на стратегию

• Начинать каждый раунд одним и тем же числом. Безвредно, если оно случайно оказалось серединой, и бесполезно иначе. Некоторые игры сдвигают окно между раундами именно для того, чтобы эта привычка не сложилась.
• Искать закономерность в скрытом числе. Там, где цель берётся из зафиксированного сида, прошлые раунды не несут никакой информации. Ни дрейфа, ни смещения, ни последовательности.

Как понять, может ли число сдвинуться

Один вопрос решает, стоит ли стратегия выше хоть чего-то: цель зафиксирована до вашей первой попытки или выбирается по ходу? Игра, которая выбирает число лениво, могла бы уводить его оттуда, где вы ищете, и никакое правильное деление пополам не помогло бы.

Проверка та же, что и для любой игры такого рода: цель должна выводиться из серверного сида, зафиксированного до раунда, вместе с вашим клиентским сидом, и раскрываться потом, чтобы её можно было пересчитать. Проверка provably fair показывает, как это выглядит на практике. Без неё игра на угадывание просит поверить, что искомое стоит на месте.

Полные шансы обоих уровней риска, сдвигающееся окно и выплаты — в гайде «Угадай число». Как её 95% соотносятся с остальными играми, показывает индекс RTP.